Tekintsük a koordinátarendszerben adott A (6 9), B ( 5 4) ( ) és C 2 1 pontokat! a) Mekkora az AC szakasz hossza? b) Írja fel az AB oldalegyenes egyenletét! c) Igazolja (számítással), hogy az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van! d) Írja fel az ABC háromszög körülírt körének egyenletét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 52

Egy négyzet oldalegyenesei a koordinátatengelyek és az x = 1, valamint az y = 1 egyenletű egyenesek. a) Ábrázolja derékszögű koordinátarendszerben a négyzetet és adja meg csúcsainak koordinátáit! b) Írja fel a négyzet köré írható kör egyenletét! c) Állapítsa meg, hogy a négyzet kerülete hány százaléka a kör kerületének? d) Az y = 4x + 2 egyenletű egyenes a négyzetet két részre bontja. Számítsa ki e részek területének arányát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 89

a) Ábrázolja koordináta-rendszerben az e egyenest, melynek egyenlete 4x + 3y = 11. Számítással döntse el, hogy a P (100 -136) pont rajta van-e az egyenesen! Az egyenesen levő Q pont ordinátája (második koordinátája) 107. Számítsa ki a Q pont abszcisszáját (első koordinátáját)! b) Írja fel az AB átmérőjű kör egyenletét, ahol A(-5 3) és B(1 -5). Számítással döntse el, hogy az S (1 3) pont rajta van-e a körön! c) Adja meg az ABC háromszög C csúcsának koordinátáit, ha tudja, hogy az S (1 3) pont a háromszög súlypontja!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 142

Az e egyenesről tudjuk, hogy a meredeksége 12 és az y tengelyt 4-ben metszi. a) Ábrázolja koordináta-rendszerben az e egyenest és írja fel az egyenletét! b) Mutassa meg, hogy a P(2 5) pont rajta van az e egyenesen! Állítson merőlegest ezen a ponton át az egyenesre. Írja fel ennek az egyenesnek az egyenletét! c) E két egyenest elmetsszük a 4x - 3y = -17 egyenletű egyenessel, a metszéspontok A és B. Számítsa ki az A és B metszéspontok koordinátáit! d) Számítsa ki a PAB háromszög területét! e) Adja meg a PAB háromszög köré írható kör középpontjának koordinátáit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 2845

Adott a koordináta-rendszerben az A( ) 9 8 középpontú, 10 egység sugarú kör. a) Számítsa ki az y = 16 egyenletű egyenes és a kör közös pontjainak koordinátáit! b) Írja fel a kör P( ) 1 2 pontjában húzható érintőjének egyenletét! Adja meg ennek az érintőnek az iránytangensét (meredekségét)!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 176

A k kör egyenlete: x2 + y2 - 4x + 10y - 23 = 0. a) Számítsa ki a k kör és az y = 1,5x + 5 egyenletű f egyenes közös pontjainak koordinátáit! Egy k kör középpontja a )5 2( C pont, és ez a kör érinti a 0323 = yx egyenletű e egyenest. b) Számítsa ki az érintési pont koordinátáit, és írja fel a k kör egyenletét! c) Igazolja, hogy a k körnek a középpontjából való kétszeres nagyítottja a k kör!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 2876

a) Fogalmazza meg, hogy az ( ) 12: += xxff R,R függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az ( ) xxff = 00 : R,R függvény grafikonjából! Ábrázolja az f függvényt a [-6 6] intervallumon! b) Írja fel az ( )1 4A és ( )4 5B pontokon áthaladó egyenes egyenletét! Mely pontokban metszi az AB egyenes az f függvény grafikonját? (Válaszát számítással indokolja!)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 194

Adott az 0568622 =++ yxyx egyenletű kör és az 04,8 =x egyenletű egyenes. a) Számítsa ki a kör és az egyenes közös pontjainak koordinátáit! b) Mekkora távolságra van a kör középpontja az egyenestől? Egy 9 cm sugarú kört egy egyenes két körívre bont. Az egyenes a kör középpontjától 5,4 cm távolságban halad. c) Számítsa ki a hosszabb körív hosszát! (A választ egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!)

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 232

Az ABC háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(0 0), B(-2 4), C(4 5). a) Írja fel az AB oldal egyenesének egyenletét! b) Számítsa ki az ABC háromszög legnagyobb szögét! A választ tized fokra kerekítve adja meg! c) Számítsa ki az ABC háromszög területét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 248

Adott két egyenes: 5,1425: = yxe , 5,1452: =+ yxf . a) Határozza meg a két egyenes P metszéspontjának koordinátáit! b) Igazolja, hogy az e és az f egyenesek egymásra merőlegesek! c) Számítsa ki az e egyenes x tengellyel bezárt szögét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 339

Egy háromszög csúcsainak koordinátái: A(-2 -1), B(9 -3) és C(-3 6). a) Írja fel a BC oldal egyenesének egyenletét! b) Számítsa ki a BC oldallal párhuzamos középvonal hosszát! c) Számítsa ki a háromszögben a C csúcsnál lévő belső szög nagyságát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 391

Adott a koordináta-rendszerben két pont: A(1 -3) és B(7 -1). a) Írja fel az A és B pontokra illeszkedő e egyenes egyenletét! b) Számítással igazolja, hogy az A és a B pont is illeszkedik az 102622 =+ yxyx egyenletű k körre, és számítsa ki az AB húr hosszát! Az f egyenesről tudjuk, hogy illeszkedik az A pontra és merőleges az AB szakaszra. c) Számítsa ki a k kör és az f egyenes (A-tól különböző) metszéspontjának koordiná- táit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 449

Adott az A(5 2) és a B(-3 -2) pont. a) Számítással igazolja, hogy az A és B pontok illeszkednek az x - 2y = 1 egyenletű e egyenesre! b) Írja fel az AB átmérőjű kör egyenletét! c) Írja fel annak az f egyenesnek az egyenletét, amely az AB átmérőjű kört a B pont- ban érinti!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 463

A koordináta-rendszerben adottak az A(8 9) és a B(12 1) koordinátájú pontok, továbbá egy origó középpontú, 5 egység sugarú k kör, és az e egyenes, amely az E (4 3) pontban érinti a k kört. a) Számítsa ki az A és B pontok távolságát! b) Határozza meg az e egyenes egyenletét! Az f egyenes áthalad az adott A és B pontokon. c) Számítsa ki az e és az f egyenes metszéspontjának koordinátáit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 483

Az e egyenes egyenlete: 3x + 7y = 21. a) A P(-7 p) pont illeszkedik az e egyenesre. Adja meg p értékét! Az f egyenes illeszkedik a Q(1 - 2) pontra, és merőleges az e egyenesre. b) Írja fel az f egyenes egyenletét! A g egyenes egyenlete: 5 7 3 += xy . c) Igazolja, hogy az e és g egyenesek párhuzamosak egymással!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 535

Adott az 132 yx egyenletű e egyenes és az 045)1( 22 yx egyenletű k kör. a) Adja meg az e egyenes meredekségét, és azt a pontot, ahol az egyenes metszi az y tengelyt! b) Határozza meg a k kör középpontját és sugarának hosszát! c) Számítással igazolja, hogy az e egyenesnek és a k körnek egyetlen közös pontja van!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 2601

Adott két pont a koordinátasíkon: A(2 6) és B(4 -2). a) Írja fel az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenletét! b) Írja fel az A ponton átmenő, B középpontú kör egyenletét! Adott az y = 3x egyenletű egyenes és az 4848 22 yyxx egyenletű kör. c) Adja meg koordinátáikkal az egyenes és a kör közös pontjait!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4256

Egy háromszög csúcsai: A(-4 -10), B(6 14), C(11 -2). a) Számítsa ki az ABC háromszög AB oldallal párhuzamos középvonalának hosszát! b) Írja fel az ABC háromszög AB oldalához tartozó magasságvonalának egyenletét! c) Számítsa ki a háromszög A csúcsánál lévő belső szög nagyságát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 4286

A derékszögű koordináta-rendszerben adott a 4x + y = 17 egyenletű e egyenes, továbbá az e egyenesre illeszkedő C(2 9) és T(4 1) pont. Az A pont az origóban van. a) Igazolja, hogy az ATC szög derékszög! Az A pont e egyenesre vonatkozó tükörképe a B pont. b) Számítsa ki a B pont koordinátáit! c) Határozza meg az ABC egyenlő szárú háromszög körülírt köre középpontjának koordinátáit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 6244

a) Egy számtani sorozat negyedik tagja 4, tizenhatodik tagja -2. Számítsa ki a sorozat első 120 tagjának az összegét! b) Adott egy szakasz két végpontja: A(0 4) és B(2 3). Írja fel az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenletét! c) Egy elsőfokú függvény a 0-hoz 4-et, a 2-höz 3-at rendel. Írja fel a függvény hozzárendelési szabályát!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7681

Egy feladatsor az érettségi előtt álló diákok koordinátageometriai ismereteit vizsgálja. A feladatsor első részében egy tesztet kell megoldani, amely hat rövid kérdésből áll. A kérdésekhez három-három válasz van megadva, amelyek között minden esetben pon- tosan egy helyes van. a) Hányféleképpen lehet úgy kitölteni a tesztet, hogy a hat tesztkérdés közül pontosan ötre adjunk helyes választ? (Minden kérdésnél egy választ jelölünk meg a megadott három közül.) A feladatsor második részében nyolc feladat szerepel, a diákoknak ezek közül kettőt kell megoldaniuk. A nyolc feladat között három olyan van, amelynek megoldásához tudni kell egyenesek metszéspontját meghatározni. Eszter véletlenszerűen választja ki, hogy melyik két feladatot oldja meg a nyolc közül. b) Számítsa ki annak valószínűségét, hogy az Eszter által választott két feladat közül legalább az egyik megoldásához tudni kell egyenesek metszéspontját meghatározni! A feladatsor második részében szerepel az alábbi feladat is: Adott a koordinátarendszerben az e egyenes, valamint az A és B pontok. Tükrözzük az A pontot az e egyenesre, majd az így kapott A pontot kössük össze B-vel. Az A B egyenes és az e metszéspontja az E pont. Legyen A (-5 36), B (-9 11), az e egyenes egyenlete pedig x = 3. Határozza meg az E pont koordinátáit! c) Ha Eszter ezt a feladatot jól oldotta meg, akkor melyik szá- mot adta meg az E pont első, illetve második koordinátája- ként?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 7714

a) Egy sorozat tagjai azok a pozitív egész számok (növekvő sorrendben), amelyek 3-mal osztva 1 maradékot adnak. Adja meg a sorozat 56. tagját, és határozza meg, hogy hányadik tagja a sorozatnak az 1456. b) Írja fel az A(14 56) ponton átmenő, az y = 3x + 1 egyenletű egyenesre merőleges egyenes egyenletét! c) Adja meg a [-14 56] zárt intervallumon értelmezett 3 1x x + függvény érték- készletét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 8543

Tekintsük az A, B, C, D és E pontokat egy gráf csúcsainak. a) Egészítse ki élekkel a fenti ábrát úgy, hogy a kapott gráfban minden csúcs fokszáma 2 vagy 3 legyen! b) Lehet-e olyan 5 csúcsú gráfot rajzolni, amelyben minden csúcs fokszáma pontosan 3? Az A, B, C, D pontok egy paralelogrammát alkotnak, az E pont az átlók metszéspontja. c) Fejezze ki az AB vektort a DA és DE vektorok segítségével! Egy ABCD paralelogrammát elhelyeztünk a koordináta-rendszerben. Tudjuk, hogy az AB egyenes egyenlete 2x - 5y = - 4, az AD egyenes egyenlete pedig 3x - 2y = - 6. A C pont koordinátái (5 5), a B pont első koordinátája 3. d) Határozza meg a paralelogramma A, B és D csúcsának koordinátáit!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 9771

A k kör egyenlete a koordináta-rendszerben: x2 + y2 - 2x - 4y - 15 = 0. a) Igazolja, hogy a kör középpontjának koordinátái (1 2), és adja meg a kör sugarát! Az A pont illeszkedik a k körre, első koordinátája 3, második koordinátája pozitív szám. b) Írja fel az A ponton átmenő, a kört érintő egyenes egyenletét! Az alábbi körlap négy tartományát szeretnénk egy-egy színnel kiszínezni úgy, hogy szomszédos tartományok ne legyenek azonos színűek. (Például az A-val jelölt tartomány szomszédos B-vel és D-vel, de nem szomszédos C-vel.) A színezéshez a piros, sárga, kék és zöld színek állnak rendelkezésünkre. c) Hányféleképpen végezhetjük el a színezést, ha legalább három színt fel kell hasz- nálnunk?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10114

Adottak a koordináta-rendszerben az A(0 4), B(1 0), C(6 2) és D(5 6) pontok. a) Írja fel az A és B pontokra illeszkedő egyenes egyenletét! b) Mutassa meg, hogy az ABCD négyszög paralelogramma! c) Számítsa ki az ABCD paralelogramma B csúcsánál lévő belső szög nagyságát! A sokszögeket a csúcsaikhoz írt nagybetűkkel jelöljük (pl. ABCD, EFGH). A betűzés akkor szabályos, ha valamelyik csúcsból kiindulva és az egyik körüljárási irányban ha- ladva a betűk ábécésorrendben követik egymást. d) Egy négyszög négy csúcsához az E, F, G és H betűket írjuk véletlenszerű sorrend- ben. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a betűzés szabályos lesz?

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 10229

Adott az f: R -> R, f(x) = (x - 3)^2 - 4 függvény. a) Melyik számot rendeli az f függvény az x = 2,5-höz? b) Határozza meg az f függvény zérushelyeit! Az f függvény grafikonjára illeszkedik a P(2; -3) és a Q(6; 5) pont. c) Számítsa ki a P és a Q pont távolságát! d) Határozza meg a P és Q pontokra illeszkedő egyenes egyenletét!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11061

Anna a globális napelem-kapacitás alakulásával kapcsolatos projektmunkájában a 2008 és 2023 közötti időszakot tanulmányozta.2 Az erre az időszakra vonatkozó adatokat beírta egy táblázatkezelő programba, amely az adatokra exponenciális függvénygörbét (úgynevezett trendvonalat) is illesztett, melynek egyenlete: y   7,67 1,27x . Ebben a képletben x a 2007 óta eltelt évek számát, y pedig a gigawattban (GW) megadott globális napelem-kapacitást jelöli. (A globális napelem-kapacitás a Földön üzemben lévő napelemek összteljesítményét jelenti.) Az Anna által talált éves adatokat és az azokra illesztett exponenciális görbét (trendvonalat) mutatja az alábbi ábra. a) Számítsa ki, hogy az adatokra illesztett görbe megadott egyenletéből kiszámítható 2020-as érték mennyivel tér el a grafikonon megadott 2020-as adattól! b) A görbe egyenletéből számítva évente hány százalékkal nőtt 2008 és 2023 között a globális napelem-kapacitás? c) A görbe egyenlete alapján melyik évben érné el a globális napelem-kapacitás a 3000 gigawattot? 2008 és 2016 között a kapacitás növekedése még mérsékeltebb volt. Ebben az időszakban az adatokra a táblázatkezelő program által illesztett közelítő lineáris összefüggés: y  7,7x – 5, ahol x a 2007 óta eltelt évek számát, y pedig a gigawattban (GW) megadott globális napelem-kapacitást jelöli. Az adatokat és az azokra illesztett lineáris trendvonalat mutatja az alábbi ábra. d) Hány százalékkal kevesebb a lineáris összefüggés alapján kiszámítható 2016-os érték a grafikonon megadott 2016-os adatnál? Anna szeretné tudni, hogy az első (2008) és a kilencedik (2016) év adataira illeszthető egyenes egyenlete mennyire hasonlít a program által megadott lineáris összefüggésre. e) Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely illeszkedik az (1; 7) és (9; 77) pontokra!

Az appot fejleszti: Vántus András | Kecskemét, 20/424-89-36 | matematica.hu | A feladatok az Oktatási Hivatal honlapjáról származnak. | 11547